\documentclass[10pt,a4paper]{article}
%%% taille 10 points et format de papier A4
%%% classe article

%%% Codage en unicode
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 

\usepackage{multicol}%%%         écriture en multicolonnes
\usepackage[normalem]{ulem}%%%   pour texte barré \sout{}
\usepackage[french]{babel}%%%    écriture en français
\DecimalMathComma%%%             évite l'espace après la virgule en mode math
\usepackage{multido}%%%          pour faire des boucles
\usepackage{pst-all,pst-eucl}%%% PsTricks et Euclide
\usepackage{graphicx}%%%         pour graphiques et couleurs	
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}%%% outils AMS
\usepackage{mathrsfs}%%%         police script \mathscr{}
\usepackage{tabularx}%%%         tableaux
\usepackage{fancybox}%%%         divers boîtes
\usepackage{lscape}%%%           mode paysage
\usepackage[np]{numprint}%%%     pour formater les nombres de plus de 3 chiffres
\usepackage{colortbl}%%%         pour griser des cases dans un tableau
\usepackage{makeidx}%%%          pour créer un index
\makeindex%%%                    indispensable après l'appel du package makeidx
\usepackage{lettrine}%%%         pour créer des lettrines
\usepackage{eurosym}%%%          sigle euro

\usepackage{vmargin}%%%          réglage des marges
\setmarginsrb{3cm}{2cm}{3cm}{2cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}
% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

\setlength{\parindent}{0pt}%%% règle l'indentation en début de paragraphe 

%%%  Commandes perso FH

%%% Pour intégrale, somme et produit, etc.
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%%% raccourci pour \displaystyle

%%% ensembles de nombres
%%% On réservera le style "double barre" à l'écriture au tableau
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\textbf{N}}
\newcommand{\Z}{\textbf{Z}}
\newcommand{\C}{\textbf{C}}
\newcommand{\Q}{\textbf{Q}}
\newcommand{\K}{\textbf{K}}

%%% différents repères
\newcommand{\Oij}{(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath})}
\newcommand{\rep}{(O,I,J)}
\newcommand{\Ouv}{(O\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v})}
\newcommand{\Oijk}{(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}\,,\,\vec{k})}

%%%  Courbe représentative
\newcommand{\Cr}[1]{\mathscr{C}_{#1}}

%%% crochets gauche et droit
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}

%%% crochet d'entiers
\newcommand{\cde}{\texttt{[}\!\!\texttt{[}}
\newcommand{\cge}{\texttt{]}\!\!\texttt{]}}

%%% inférieur ou égal, supérieur ou égal
\newcommand{\pg}{\geqslant}
\newcommand{\pp}{\leqslant}

\usepackage{fancyhdr}%%%       En-têtes et pieds de pages
\pagestyle{fancy}
\renewcommand\headrulewidth{1pt}%%% filet haut de page
\renewcommand\footrulewidth{0pt}%%% filet bas de page
\renewcommand{\headwidth}{\textwidth}
%%% head pour haut de page
%%% L C et R pour Left Center et Right
\fancyhead[L]{\url{http://latexetmath.canalblog.com}}
\fancyhead[R]{\today} %%% \today = date du jour
\fancyhead[C]{}
%%% foot pour pied de page
\fancyfoot[C]{\begin{small}-- \thepage\  --\end{small}}  
\fancyfoot[R]{}%%%     {\jobname}%%% nom du fichier tex
\fancyfoot[L]{\href{mailto:francois.hache@free.fr}{FH}}

%%% Pour les énumérations
%%% premier niveau 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
%%% deuxième niveau
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%%% troisième niveau
\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\arabic{enumiii}}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii)}}
%%% permet d'avoir a. au lieu de (a) dans une énumération de niveau 2
%%% voir : http://cahiers.gutenberg.eu.org/cg-bin/article/CG_1994___17_32_0.pdf

\newenvironment{changemargin}[2]
{\begin{list}{}{%
\setlength{\topsep}{0pt}%
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\setlength{\parsep}{0pt plus 1pt}%
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\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}
%%%% pour changer les marges gauche et droite sur un paragraphe
%%%% \begin{changemargin}{marge gauche}{marge droite}
%%%% ...
%%%% \end{changemargin}

\usepackage[ps2pdf]{hyperref}%%% pour les références

%%% paramètres des pdf
\hypersetup{
pdfauthor = {F. Hache},
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%%% Autres commandes qui doivent être définies après hyperref
\newcommand{\e}{\,\text{e}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%           le i des complexes
\renewcommand{\v}[1]{\overrightarrow{#1}}%%% vecteur

%%% définitions de nouvelles couleurs
\newrgbcolor{rb}{0.804 0 0}
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\begin{document}

\part*{\centering Médiatrices}

\section{Exercices}

\emph{Ces deux exercices doivent être faits sans aucune référence à la médiatrice: ils s'adressent à des élèves qui ne connaissent pas encore cette notion.}

\begin{enumerate}
\item 
Soit \cd AB\cg{} un segment de milieu I.
On appelle $d$ la droite passant par I et perpendiculaire à \cd AB\cg{}.
Soit M un point quelconque de la droite $d$.

Démontrer que $\text{MA} = \text{MB}$.

\smallskip

\emph{Indication}

Utiliser la symétrie d'axe (MI) et la propriété de conservation des longueurs.

\smallskip


\item
Soit \cd AB\cg{} un segment et M un point du plan tel que $\text{MA} = \text{MB}$.

La perpendiculaire à \cd AB\cg{} passant par M coupe \cd AB\cg{} en H; on dit que H est le projeté orthogonal de M sur (AB).

Démontrer que H est le milieu de \cd AB\cg.

\smallskip

\emph{Indication}

Prendre I le milieu de \cd AB\cg{} et montrer que les triangles MIA et MIB sont rectangles en I.\\
Déduire que H et I sont confondus et donc le résultat demandé.

\end{enumerate}

\section{Définition}

La \textbf{médiatrice} du segment \cd AB\cg{} est l'ensemble des points qui sont équidistants de A et de B.

C'est la droite perpendiculaire à \cd AB\cg{} passant par son milieu.

C'est aussi l'axe de symétrie de ce segment.


\section{Construction}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item On trace un cercle de centre A dont le rayon est plus grand que la moitié de AB.

\item On trace un cercle de centre B dont le rayon est le même que celui tracé précédemment.

\item Les deux cercles se coupent en deux points M et N.

\item La droite (MN) est la médiatrice du segment \cd{}AB\cg.

\end{list}

\end{minipage}
\begin{minipage}{0.35\linewidth}

\begin{flushright}
\psset{unit=0.25cm,PointSymbol=|,dotscale=1.5,PtNameMath=false}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {11}
\def\ymin {-6}   \def\ymax {6}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pstGeonode[PosAngle={-90,-90}](0,0){A}(10,0){B}
\psline(A)(B)
{\red
\psset{linecolor=red}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,7){X}(3,0){Y}
\psarc[linestyle=dashed](A){7}{-60}{60}
\psarc[linestyle=dashed](B){7}{120}{240}
%\pstCircleOA[linestyle=dashed]{A}{X}
%\pstCircleOA[linestyle=dashed]{B}{Y}
\pstInterCC{A}{X}{B}{Y}{M}{N}
\pstLineAB[nodesep=-1]{M}{N}
}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}


\section{Médiatrices dans un triangle}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}

Soit ABC un triangle.

La médiatrice $d_1$ du côté \cd AB\cg{} coupe \cd AB\cg{} en C'. 

La médiatrice $d_2$ du côté \cd BC\cg{} coupe \cd BC\cg{} en A'.

Les deux droites $d_1$ et $d_2$ se coupent en un point O.

Démontrer que $\text{OA} = \text{OB}$.

\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{unit=0.7cm,PointSymbol=none,PtNameMath=false}
\def\xmin{-1}   \def\xmax{3.8}
\def\ymin{-0.5}   \def\ymax{3.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pstTriangle(0,0){A}(3,1){B}(1,3.5){C}
%\psset{CodeFig=true,CodeFigColor=red,RightAngleSize=0.2}
{\red
\pstCircleABC[linewidth=0pt,linecolor=white]{A}{B}{C}{O}
\psset{PointNameB=none,PointSymbolA=none,PointSymbolB=none}
\psset{nodesep=-1,linecolor=red,RightAngleSize=0.2,linestyle=dashed}
\pstMediatorAB[PosAngle=-30]{A}{B}{C'}{X}
\pstMediatorAB[PosAngle=0]{B}{C}{A'}{Y}
\psset{RightAngleSize=0.2}
\pstRightAngle[linestyle=solid]{O}{C'}{A}
\pstRightAngle[linestyle=solid]{O}{A'}{C}
}
\end{pspicture}
\end{flushright}

\end{minipage}

\bigskip

\emph{Remarque}

On démontre ainsi que le point O appartient à la médiatrice du troisième côté du triangle et donc que les trois médiatrices sont concourantes.

Le point O d'intersection des trois médiatrices est tel que
$\text{OA} = \text{OB} = \text{OC}$; il est donc le centre d'un cercle passant par les trois points A, B et C: c'est le \textbf{cercle circonscrit} au triangle ABC.


\end{document}