\documentclass[10pt,a4paper]{article}
%%% taille 10 points et format de papier A4
%%% classe article

%%% Codage en unicode
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 

\usepackage{multicol}%%%         écriture en multicolonnes
\usepackage[normalem]{ulem}%%%   pour texte barré \sout{}
\usepackage[french]{babel}%%%    écriture en français
\DecimalMathComma%%%             évite l'espace après la virgule en mode math
\usepackage{multido}%%%          pour faire des boucles

\usepackage{pst-all,pst-eucl,pst-func}%%% PsTricks etc.
\usepackage{diagbox}

\usepackage{graphicx}%%%         pour graphiques et couleurs	
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}%%% outils AMS
\usepackage{mathrsfs}%%%         police script \mathscr{}
\usepackage{tabularx}%%%         tableaux
\usepackage{fancybox}%%%         divers boîtes
\usepackage{lscape}%%%           mode paysage
\usepackage[np]{numprint}%%%     pour formater les nombres de plus de 3 chiffres
\usepackage{colortbl}%%%         pour griser des cases dans un tableau
\usepackage{makeidx}%%%          pour créer un index
\makeindex%%%                    indispensable après l'appel du package makeidx
\usepackage{lettrine}%%%         pour créer des lettrines
\usepackage{eurosym}%%%          sigle euro
\usepackage{xcolor}

%\usepackage{bez123}%%%     courbes de Bézier

\usepackage{vmargin}%%%          réglage des marges
\setmarginsrb{3cm}{2cm}{3cm}{2cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}
% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

\setlength{\parindent}{0pt}%%% règle l'indentation en début de paragraphe 

%%%  Commandes perso FH

%%% Pour intégrale, somme et produit, etc.
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%%% raccourci pour \displaystyle

%%% ensembles de nombres
%%% On réservera le style "double barre" à l'écriture au tableau
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\textbf{N}}
\newcommand{\Z}{\textbf{Z}}
\newcommand{\C}{\textbf{C}}
\newcommand{\Q}{\textbf{Q}}
\newcommand{\K}{\textbf{K}}

%%% vecteurs
\newcommand{\vect}[1]{\,\overrightarrow{\,#1\mathstrut\,}}%%% vecteur
\newcommand{\vectt}[1]{\,\overrightarrow{\,\text{#1}\mathstrut\,}}%%% vecteur AB

%%% différents repères
\newcommand{\Oij}{(\text{O}\,;\,\vect{\imath}\,,\,\vect{\jmath})}
\newcommand{\rep}{(\text{O},\text{I},\text{J})}
\newcommand{\Ouv}{(\text{O}\,;\,\vect{u}\,,\,\vect{v})}
\newcommand{\Oijk}{(\text{O}\,;\,\vect{\imath}\,,\,\vect{\jmath}\,,\,\vect{k})}

%%%  Courbe représentative
\newcommand{\Cr}[1]{\mathscr{C}_{#1}}

%%% crochets gauche et droit
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}

%%% crochet d'entiers
\newcommand{\cde}{\texttt{[}\!\!\texttt{[}}
\newcommand{\cge}{\texttt{]}\!\!\texttt{]}}

%%% inférieur ou égal, supérieur ou égal
\newcommand{\pg}{\geqslant}
\newcommand{\pp}{\leqslant}

\usepackage{fancyhdr}%%%       En-têtes et pieds de pages
\pagestyle{fancy}
\renewcommand\headrulewidth{1pt}%%% filet haut de page
\renewcommand\footrulewidth{0pt}%%% filet bas de page
\renewcommand{\headwidth}{\textwidth}
%%% head pour haut de page
%%% L C et R pour Left Center et Right
\fancyhead[L]{\url{http://latexetmath.canalblog.com}}
\fancyhead[R]{\today} %%% \today = date du jour
\fancyhead[C]{}
%%% foot pour pied de page
\fancyfoot[C]{\begin{small}-- \thepage\  --\end{small}}  
\fancyfoot[R]{}%%%     {\jobname}%%% nom du fichier tex
\fancyfoot[L]{\href{mailto:francois.hache@free.fr}{FH}}

%%% Pour les énumérations
%%% premier niveau 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
%%% deuxième niveau
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%%% troisième niveau
\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\arabic{enumiii}}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii)}}
%%% permet d'avoir a. au lieu de (a) dans une énumération de niveau 2
%%% voir : http://cahiers.gutenberg.eu.org/cg-bin/article/CG_1994___17_32_0.pdf

\newenvironment{changemargin}[2]
{\begin{list}{}{%
\setlength{\topsep}{0pt}%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\setlength{\listparindent}{\parindent}%
\setlength{\itemindent}{\parindent}%
\setlength{\parsep}{0pt plus 1pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}
%%%% pour changer les marges gauche et droite sur un paragraphe
%%%% \begin{changemargin}{marge gauche}{marge droite}
%%%% ...
%%%% \end{changemargin}

\usepackage{hyperref}%%% pour les références

%%% paramètres des pdf
\hypersetup{
pdfauthor = {F. Hache},
pdftitle = {Diagbox},
pdfstartview = FitH,
pdfcreator = {LaTeX vers PDF}
allbordercolors = white,
colorlinks=true,
linkcolor=red,
urlcolor=red,
unicode=true}

%%% Autres commandes qui doivent être définies après hyperref
\newcommand{\e}{\,\text{e}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%           le i des complexes

%%% définitions de nouvelles couleurs
\newrgbcolor{rb}{0.804 0 0}
\newrgbcolor{vb}{0 0.545 0}

% \usepackage{listings}

\setlength{\parskip}{5pt}

\begin{document}

\part*{\centering Intervalles et échantillons}

De nombreuses questions se posent aux élèves (et parfois à leurs professeurs) à propos des intervalles de confiance et des intervalles de fluctuation asymptotique.

Cette chronique a pour objectif de vulgariser un peu ces notions pour mieux les faire passer auprès des élèves.

J'ai déjà traité du sujet \og intervalle de fluctuation asymptotique \fg{} en mai 2017; le texte de l'époque est disponible  \href{https://p5.storage.canalblog.com/51/55/1082582/115753790.pdf}{ici}.
Excusez les répétitions!


\section{Fluctuation d'échantillonnage}

La notion primordiale est la notion de \og fluctuation d'échantillonnage \fg{}.

Quand on connaît une proportion dans une population de grande taille et qu'on extrait des échantillons de cette population, ils ne sont pas tous constitués de la même façon.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Par exemple, si on a une urne qui contient $\np{100000}$ boules dont $\np{30000}$ boules blanches, et qu'on extrait de cette urne $\np{1000}$ boules, il n'y en aura pas \og forcément \fg{} $300$ blanches.

Dans cette urne, la proportion de boules blanches est de $30\,\%$ donc la probabilité d'extraire une boule blanche de l'urne est $0,3$. \\
On n'oubliera pas de parler aux élèves d'équiprobabilité.

Si on constitue des échantillons \og avec remise \fg{} (ce qui correspond à un tirage \og  non exhaustif \fg{}) --~c'est-à-dire que l'on extrait une boule, on note si elle est blanche ou non, puis on la remet dans l'urne~-- la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de boules blanches dans l'échantillon de taille $\np{1000}$ suit la loi binomiale de paramètres $n=\np{1000}$ et $p=0,3$.

La probabilité d'avoir exactement $300$ boules blanches sur les $\np{1000}$ est donnée par la formule\\
$P(X=k)= \ds\binom{n}{k}\,p^{k}\left (1-p\right )^{n-k}$ donc
$P(X=300) = \ds\binom{\np{1000}}{300}\times 0,3^{300}\times 0,7^{700} \approx \np{0,0275}$. 

Il n'y a donc qu'environ $2,75\,\%$ de chances que l'échantillon extrait contienne $300$ boules blanches.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Dans la pratique, on ne remet pas dans l'urne les boules déjà tirées, et la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de boules blanches suit alors une loi hypergéométrique de paramètres $N=\np{100000}$, $n=\np{1000}$ et $p=0,3$. Mais si $N$ tend vers l'infini, la loi hypergéométrique tend vers la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. \\
Pour éviter toute ambigüité, on trouve souvent dans les sujets des phrases du type: \og On estimera que la population est de taille suffisamment grande pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. \fg{}\\
On trouve d'ailleurs dans un document d'accompagnement de la classe de seconde:\\
\og ... un tirage sans remise d'un échantillon dans une population suffisamment nombreuse est assimilable à la répétition d'un tirage avec remise dans une urne. \fg{} \\
Ainsi on travaille directement avec une loi binomiale.
\end{tabular}

\item Comme autre  exemple simple, on peut faire lancer 20 fois une pièce et compter le nombre de fois où elle tombe du côté \og pile \fg{}. Là encore, on serait en droit d'espérer que la pièce tombera 10 fois sur \og pile \fg{}, ce qui n'a qu'une probabilité d'arriver égale à:\\
$\ds\binom{20}{10} \times 0,5^{10}\times \left (1-0,5\right )^{10-5} \approx \np{0,1762}$, 
soit dans environ $17,62\,\%$ des cas. 

\item Dernier exemple: on peut faire jeter un dé 60 fois et faire compter le nombre de fois que le 6 apparaît. La probabilité qu'il sorte 10 fois est 
$\ds\binom{60}{10} \times \left (\dfrac{1}{6} \right )^{10}\times \left (1-\dfrac{1}{6}\right )^{60-10} \approx \np{0,1370}$. \\
Ce qui veut dire qu'un échantillon de taille 60  contiendra exactement 10 fois le 6 dans  environ $13,70\,\%$ des cas. 
\end{list}

\section{Intervalle de confiance}

On utilise un \og   intervalle de confiance \fg{} quand, à partir d'un échantillon donné, on veut estimer une proportion dans une population; c'est typiquement ce que l'on fait dans des sondages d'opinion.

D'après ce qu'on a vu dans le paragraphe précédent, il faut être prudent quand on manipule des échantillons.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Voyons un exemple.\\
Une personne lance une pièce $\np{1000}$ fois et elle tombe $490$ fois sur \og pile \fg{} ce qui peut arriver dans environ $2,07\,\%$ des cas. Est-ce que cette personne  va dire que la probabilité d'obtenir \og pile \fg{} est de $0,49$?\\
Attention de ne pas être distrait par le $2,07\,\%$ qui peut paraître faible: l'obtention de 500 \og pile \fg{} n'arrive que dans environ $2,57\,\%$ des cas! \\
Une autre personne, sur \np{1000} lancers, obtient $505$ fois \og pile \fg{}; va-t-elle en déduire que la probabilité d'apparition de  \og pile \fg{} est de $0,505$?

Si on se contente d'une estimation ponctuelle, les deux probabilités sont envisageables. \\
Mais est-ce bien raisonnable?
\end{tabular}

On va donc faire une estimation par intervalle de confiance.

On cherche à estimer une proportion $p$ d'un caractère dans une population donnée.\\
On extrait un échantillon de taille $n$ dans cette population, et on calcule la fréquence $f_n$ du caractère dans cet échantillon.\\
On choisit un seuil de confiance, souvent $95\,\%$.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\,\%$, c'est déterminer un intervalle $I$ tel que la probabilité que $p$ appartiennent à $I$ soit supérieure ou égale à $0,95$.
\end{tabular}

Après des calculs un peu compliqués (et des théorèmes importants qu'un élève de terminale S doit connaître), on peut dire qu'un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\,\%$ est

\[I= \left [ f_n - 1,96 \ds\sqrt{\dfrac{f_n\left (1-f_n\right )}{n}}~;\,  f_n +1,96\ds\sqrt{\dfrac{f_n\left (1-f_n\right )}{n}}\right ]\]

Le tout est assorti de quelques conditions:
$n\geqslant 30$, $nf_n \geqslant 5$ et $n\left (1-f_n\right ) \geqslant 5$.

\bigskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
Le nombre $f_n$ est une fréquence, donc est compris entre 0 et 1.

\smallskip

Pour $0 \leqslant x \leqslant 1$, on a $0 \leqslant x\left (1-x\right ) \leqslant 0,25$, donc \\
$0 \leqslant \ds\sqrt{x\left (1-x\right )} \leqslant 0,5$.

\smallskip

On en déduit que \\
$1,96\ds\sqrt{\dfrac{f_n\left (1-f_n\right )}{n}}=
\dfrac{1,96 \ds\sqrt{f_n\left ( 1-f_n\right )}}{\sqrt{n}} \leqslant \dfrac{1,96\times 0,5}{\sqrt{n}}
< \dfrac{1}{\sqrt{n}}$

et donc que
$f_n - \dfrac{1}{\sqrt{n}} <  f_n - 1,96 \ds\sqrt{\dfrac{f_n\left (1-f_n\right )}{n}}$ et que\\
 $ f_n +1,96\ds\sqrt{\dfrac{f_n\left (1-f_n\right )}{n}} < f_n+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{unit=2cm}
\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {1.5}
\def\ymin {-0.3}   \def\ymax {1.3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=4,gridlabels=0, gridcolor=gray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0,0.5)(1,0.5) 
\uput*[l](0,0.5){\red \small $0,5$}
\def\f{x 1 x sub mul}% définition de la fonction
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{0}{1}{\f}
\def\g{x 1 x sub mul sqrt}% définition de la fonction g
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=red]{0}{1}{\g}
\end{pspicture*}

{\blue Fonction $x \longmapsto x\left (1-x\right )$}

{\red Fonction $x \longmapsto \ds\sqrt{x\left (1-x\right )}$}
\end{flushright}
\end{minipage}

Donc $\left [ f_n - 1,96 \ds\sqrt{\dfrac{f_n\left (1-f_n\right )}{n}}~;\,  f_n +1,96\ds\sqrt{\dfrac{f_n\left (1-f_n\right )}{n}}\right ] \subset \left [ f_n - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;\,  f_n +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\vphantom{\ds\sqrt{\dfrac{f_n\left (1-f_n\right )}{n}}}\right ]$.

C'est souvent l'intervalle $\left [ f_n - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;\,  f_n +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right ]$ que l'on prend comme intervalle de confiance au niveau de confiance $95\,\%$; son amplitude est de $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Petite fiction

\medskip

Lors d'une élection, on a le choix entre deux candidats A et B. On effectue un sondage auprès de $\np{1000}$ personnes et il y en a $510$ qui déclarent vouloir voter pour le candidat A. 

Peut-on dire que, parmi tous les électeurs, il y en a $51\,\%$ qui sont prêts à voter pour A?

\medskip

La fréquence dans l'échantillon de taille $\np{1000}$ est $f_{\np{1000}}=0,51$.

On a $n=\np{1000} \geqslant 30$, $n f_n=510 \geqslant 5$ et $n\left (1-f_n\right ) =490 \geqslant5$, donc les conditions sont réalisées pour que l'on établisse un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\,\%$:

\smallskip

$\left [ f_n - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;\,  f_n +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right ]
= \left [ 0,51- \dfrac{1}{\sqrt{1000}}~;\, 0,51+ \dfrac{1}{\sqrt{1000}} \right ]
\approx \left [ 0,478~;\, 0,542 \strut \right ]$.

\medskip

On peut donc dire que la probabilité que le pourcentage d'électeurs prêts à voter pour le candidat A soit compris entre $47,8\,\%$ et $54,2\,\%$, est supérieure à $0,95$.
\end{tabular}

\bigskip

Que penser alors de phrases que --~l'on entend régulièrement~-- du style \og La cote de popularité de M.~X a baissé d'un point ce mois-ci. \fg{} ?

Si le sondage se fait auprès de $\np{1000}$ personnes, on aura $\dfrac{1}{\sqrt{\np{1000}}\rule[-3pt]{0pt}{0pt}} \approx 3,16$, donc l'intervalle de confiance aura une amplitude de $6,3$ points. Est-ce bien raisonnable de parler d'une baisse de 1 point quand l'amplitude de l'intervalle de confiance est 6 fois plus grande?  

%\newpage

\section{Intervalle de fluctuation asymptotique}

La problématique liée à l'intervalle de fluctuation asymptotique est très différente de celle liée à l'intervalle de confiance. 

Il s'agit ici de \og   tester une hypothèse \fg{}, c'est-à-dire que l'on fait une hypothèse sur une proportion dans une population, et on va essayer de dire si cette hypothèse est justifiée en testant la fréquence du caractère étudié sur un échantillon extrait de cette population.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Exemple:
on a entendu dire que $54\,\%$ des français aimaient le jazz; on veut vérifier la pertinence de cette affirmation.
\end{tabular}

Plus généralement, on fait l'hypothèse que, dans une population, un caractère étudié se trouve dans la proportion $p$. On veut vérifier cette hypothèse en calculant la fréquence de ce caractère dans un échantillon de taille $n$; il s'agit d'un \og test d'hypothèse \fg{}. 

Il faut d'abord vérifier que l'on a un échantillon de taille suffisante et que la proportion n'est ni trop proche de 0 ni trop proche de 1: $n\geqslant 30$, $np\geqslant 5$ et $n\left (1-p\right )\geqslant 5$.\\
Cela exclut cette méthode lorsqu'on travaille avec des échantillons de faibles effectifs, notamment dans le milieu médical.

On prend donc un échantillon aléatoire de taille $n$, et on aimerait que la fréquence $f_n$ du caractère dans cette échantillon soit \og assez proche \fg{} de la proportion $p$, c'est-à-dire en fait dans un intervalle centré sur $p$ et dont l'amplitude dépend du niveau de risque (ou du seuil de confiance). 

Dans la pratique, on prend pour intervalle de fluctuation asymptotique, l'intervalle

\[I= \left [ p - 1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p\left (1-p\right )}{n}}~;\,  p +1,96\ds\sqrt{\dfrac{p\left (1-p\right )}{n}}\right ]\]

quand le niveau de confiance est de $95\,\%$.

Là encore, il y a des théorèmes à mettre en place et des démonstrations que des élèves de TS doivent connaître.

Ensuite on établit le diagnostic: si la fréquence calculée $f_n$ appartient à l'intervalle $I$, il n'y a pas de raison de rejeter l'hypothèse selon laquelle la proportion dans la population globale est $p$. Sinon, on peut rejeter cette hypothèse.
Le tout étant attaché à un risque de $5\,\%$.

\medskip

Comme l'intervalle est centré sur $p$, on a affaire à un test \og bilatéral \fg{}, le seul en vigueur dans les programmes du secondaire. Cela sous-entend qu'il existe un type de test \og unilatéral \fg{} qui conduit à un intervalle de type $\cd p~;\, p+a\cg$ ou $\cd p-a~;\, p\cg$; mais c'est une autre histoire.

\section{Remarque sur le \boldmath$1,96$\unboldmath}

On demande souvent dans un intervalle de fluctuation asymptotique de donner des valeurs approchées des bornes au millième. Personnellement, j'approche par défaut la borne gauche et par excès la borne droite.

Mais comment peut-on avoir une valeur approchée au millième correcte alors qu'on utilise le nombre $1,96$ qui est arrondi au centième?

Rappelons comment on trouve cette valeur de $1,96$.

Dans le cas général, on cherche un nombre $u_{\alpha}$ tel que, si la variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite, on ait
$P(-u_{\alpha} < X < u_{\alpha}) = 1-\alpha$.

Pour un seuil de $5\,\%$, on a $\alpha=0,05$ et on cherche donc $u_{0,05}$ tel que $P(-u_{0,05} < X < u_{0,05}) = 0,95$.

C'est en effet dans cette valeur de $u_{\alpha}$ qu'apparaît le niveau de confiance de $95\,\%$ (c'est utile de le faire comprendre aux élèves).

\begin{multicols}{2}
\psset{xunit=0.8cm, yunit=3cm, runit=1cm, arrowsize=2pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-4.2} \def\xmax {4.2}
\def\ymin {-0.15} \def\ymax {0.75}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\def\inf{-1.5} \def\sup{1.5}
%%% il faut le package pst-func pour utiliser \psGauss
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue]
{
\psGauss[sigma=1,mue=0]{\inf}{\sup}
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath
}
\uput[d](\inf,0){$-u_{0,05}$}
 \uput[d](\sup,0){$\vphantom{-}u_{0,05}$} 
\psGauss[sigma=1,mue=0,linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{\xmin}{\xmax}
\uput[ur](3,0.4){\blue 95\,\%}
\psline[linecolor=blue](1,0.1)(3,0.4)
\psaxes[ticksize=0pt 0pt,  labels=none, comma]{->}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,0.6)
\end{pspicture*}

\columnbreak

D'après la symétrie de la courbe autour de l'axe des ordonnées, on a
$P(X\geqslant u_{0,05}) = \dfrac{1-0,95}{2}$
c'est-à-dire
$P(X\geqslant u_{0,05}) = 0,025$;
ce qui signifie que $P(X<u_{0,05}) = 0,975$.

On trouve à la calculatrice que $u_{0,05}$ vaut environ $\np{1,959964}$.
Ouf!

\end{multicols}

Pourquoi ouf?
Parce que la valeur arrondie au millième de $u_{0,05}$ est égale à $1,960$, et que la valeur arrondie au dix-millième de $u_{0,05}$ est $\np{1,9600}$.

Il n'est donc pas totalement incohérent d'arrondir les bornes d'un intervalle de confiance ou de fluctuation asymptotique au millième, voire au dix-millième.

Personnellement, je préfèrerais que l'on donne $1,960$ comme valeur approchée de $u_{0,05}$ au lieu de $1,96$ pour bien signifier que c'est la valeur arrondie au millième.

%\end{document}

\section{Pour être clair}


Si on veut estimer le nombre de personnes aimant le jazz dans une population, on utilisera un intervalle de confiance.

Si on veut tester l'hypothèse selon laquelle $54\,\%$ des gens aiment le jazz dans une population, on utilisera un intervalle de fluctuation asymptotique.


\end{document}
